$(x+y+z)^5$ の展開式における $xy^2z^2$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(x+y+z)^5$ の展開式における $xy^2z^2$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。$(x_1+x_2+...+x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ の項の係数は、

$$\frac{n!}{k_1!k_2!...k_m!}$$

で与えられる。ただし、$k_1+k_2+...+k_m=n$ である。

今回の問題では、$(x+y+z)^5$ の展開式における $xy^2z^2$ の項の係数を求める。

$x$, $y$, $z$ の指数はそれぞれ 1, 2, 2 であり、これらの和は $1+2+2=5$ となる。

したがって、多項定理より、係数は

$$\frac{5!}{1!2!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{4} = 30$$

である。

3. 最終的な答え

30