$x + \frac{1}{x} = 4$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = 4$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$x + \frac{1}{x} = 4$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = 4^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 16$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めます。

$x + \frac{1}{x} = 4$ の両辺を3乗します。

$(x + \frac{1}{x})^3 = 4^3$

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = 64$

$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(4) = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 12 = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$