与えられた条件から2次関数を決定する問題です。 (1) 軸が $x=2$ で、2点 $(1, 4)$ と $(4, -2)$ を通る2次関数を求める。 (2) $x$軸と2点 $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わり、点 $(2, 10)$ を通る2次関数を求める。 (3) $x=3$ で最大値 $10$ をとり、$x=5$ のとき $y=6$ となる2次関数を求める。

はい、承知いたしました。2次関数の決定問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた条件から2次関数を決定する問題です。

(1) 軸が $x=2$ で、2点 $(1, 4)$ と $(4, -2)$ を通る2次関数を求める。

(2) $x$軸と2点 $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わり、点 $(2, 10)$ を通る2次関数を求める。

(3) $x=3$ で最大値 $10$ をとり、$x=5$ のとき $y=6$ となる2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x=2$ なので、求める2次関数は $y = a(x - 2)^2 + q$ と表せる。

2点 $(1, 4)$ と $(4, -2)$ を通るので、

$4 = a(1 - 2)^2 + q$

$-2 = a(4 - 2)^2 + q$

この連立方程式を解く。

$4 = a + q$

$-2 = 4a + q$

上の式から下の式を引くと、

$6 = -3a$

$a = -2$

$q = 4 - a = 4 - (-2) = 6$

よって、$y = -2(x - 2)^2 + 6 = -2(x^2 - 4x + 4) + 6 = -2x^2 + 8x - 8 + 6 = -2x^2 + 8x - 2$

(2) $x$軸と2点 $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わるので、求める2次関数は $y = a(x + 3)(x - 1)$ と表せる。

点 $(2, 10)$ を通るので、

$10 = a(2 + 3)(2 - 1)$

$10 = a(5)(1)$

$10 = 5a$

$a = 2$

よって、$y = 2(x + 3)(x - 1) = 2(x^2 + 2x - 3) = 2x^2 + 4x - 6$

(3) $x=3$ で最大値 $10$ をとるので、求める2次関数は $y = a(x - 3)^2 + 10$ と表せる。ただし、$a < 0$。

$x=5$ のとき $y=6$ なので、

$6 = a(5 - 3)^2 + 10$

$6 = a(2)^2 + 10$

$6 = 4a + 10$

$-4 = 4a$

$a = -1$

よって、$y = -(x - 3)^2 + 10 = -(x^2 - 6x + 9) + 10 = -x^2 + 6x - 9 + 10 = -x^2 + 6x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 2$

(2) $y = 2x^2 + 4x - 6$

(3) $y = -x^2 + 6x + 1$