実数 $x$ が $|x-2| < 1$ を満たすとき、 $|2x| + 2|x-4|$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ が $|x-2| < 1$ を満たすとき、 $|2x| + 2|x-4|$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x-2| < 1$ という条件から $x$ の範囲を求めます。

$|x-2| < 1$ は $-1 < x-2 < 1$ と同値です。各辺に 2 を足すと、

$1 < x < 3$

となります。

次に、$1 < x < 3$ の範囲で $|2x|$ と $|x-4|$ の符号を考えます。

$1 < x < 3$ より、$2x > 0$ なので $|2x| = 2x$ となります。

また、$1 < x < 3$ より、$x - 4 < 0$ なので $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ となります。

したがって、$|2x| + 2|x-4| = 2x + 2(4-x) = 2x + 8 - 2x = 8$ となります。

3. 最終的な答え

8