与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $a$ について整理する。

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = a^3(b-c) + b^3c - ab^3 + ac^3 - bc^3$

$= a^3(b-c) - a(b^3 - c^3) + (b^3c - bc^3)$

$= a^3(b-c) - a(b-c)(b^2 + bc + c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$= a^3(b-c) - a(b-c)(b^2 + bc + c^2) + bc(b-c)(b+c)$

$= (b-c)[a^3 - a(b^2 + bc + c^2) + bc(b+c)]$

$= (b-c)[a^3 - a(b^2 + bc + c^2) + b^2c + bc^2]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2c + bc^2]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2 + b^2c - abc - ac^2 + bc^2]$

$= (b-c)[a(a^2 - b^2) + bc(b-a) - c^2(a-b)]$

$= (b-c)[a(a-b)(a+b) - bc(a-b) - c^2(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)[a(a+b) - bc - c^2]$

$= (b-c)(a-b)[a^2 + ab - bc - c^2]$

$= (b-c)(a-b)[a^2 - c^2 + ab - bc]$

$= (b-c)(a-b)[(a-c)(a+c) + b(a-c)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)[a+c+b]$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

あるいは、

$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

のマイナスを考慮して

$\qquad -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

最終的な答え：

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$