## 問題１：

## 問題１：

$\sum_{k=6}^{19} k$ を計算してください。

## 解き方の手順：

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用します。

$\sum_{k=6}^{19} k = \sum_{k=1}^{19} k - \sum_{k=1}^{5} k$ と変形します。

$\sum_{k=1}^{19} k = \frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \cdot 20}{2} = 19 \cdot 10 = 190$

$\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 5 \cdot 3 = 15$

$\sum_{k=6}^{19} k = 190 - 15 = 175$

## 最終的な答え：

175

## 問題２：

$\sum_{k=7}^{21} k^2$ を計算してください。

## 解き方の手順：

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を利用します。

$\sum_{k=7}^{21} k^2 = \sum_{k=1}^{21} k^2 - \sum_{k=1}^{6} k^2$ と変形します。

$\sum_{k=1}^{21} k^2 = \frac{21(21+1)(2 \cdot 21+1)}{6} = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{6} = \frac{21 \cdot 11 \cdot 43}{3} = 7 \cdot 11 \cdot 43 = 77 \cdot 43 = 3311$

$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6+1)}{6} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 7 \cdot 13 = 91$

$\sum_{k=7}^{21} k^2 = 3311 - 91 = 3220$

## 最終的な答え：

3220

## 問題３：

$\sum_{k=3}^{10} (2k-1)$ を計算してください。

## 解き方の手順：

$\sum_{k=3}^{10} (2k-1) = 2 \sum_{k=3}^{10} k - \sum_{k=3}^{10} 1$ と変形します。

$\sum_{k=3}^{10} k = \sum_{k=1}^{10} k - \sum_{k=1}^{2} k = \frac{10(10+1)}{2} - \frac{2(2+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} - \frac{2 \cdot 3}{2} = 55 - 3 = 52$

$\sum_{k=3}^{10} 1 = 10 - 3 + 1 = 8$

$\sum_{k=3}^{10} (2k-1) = 2 \cdot 52 - 8 = 104 - 8 = 96$

## 最終的な答え：

96