順列(${}_nP_r$)、組み合わせ(${}_nC_r$)、階乗($n!$)の値を求める問題です。具体的には、 (1) ${}_8P_2$, (2) $8!$, (3) ${}_8C_8$, (4) ${}_4P_1$, (5) ${}_4C_1$, (6) ${}_4P_4$, (7) $4!$, (8) ${}_{2025}C_0$, (9) $0!$, (10) ${}_{25}C_{24}$, (11) ${}_nP_3$, (12) ${}_nC_3$ の値を計算します。ただし、(11)と(12)は$n$の値が不明であるため、$n$を用いた式で表します。

1. 問題の内容

順列(${}_nP_r$)、組み合わせ(${}_nC_r$)、階乗($n!$)の値を求める問題です。具体的には、

(1) ${}_8P_2$, (2) $8!$, (3) ${}_8C_8$, (4) ${}_4P_1$, (5) ${}_4C_1$, (6) ${}_4P_4$, (7) $4!$, (8) ${}_{2025}C_0$, (9) $0!$, (10) ${}_{25}C_{24}$, (11) ${}_nP_3$, (12) ${}_nC_3$

の値を計算します。ただし、(11)と(12)は$n$の値が不明であるため、$n$を用いた式で表します。

2. 解き方の手順

(1) ${}_8P_2 = 8 \times (8-1) = 8 \times 7 = 56$

(2) $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

(3) ${}_8C_8 = 1$ （一般に ${}_nC_n = 1$）

(4) ${}_4P_1 = 4$

(5) ${}_4C_1 = 4$

(6) ${}_4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(7) $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(8) ${}_{2025}C_0 = 1$ （一般に ${}_nC_0 = 1$）

(9) $0! = 1$

(10) ${}_{25}C_{24} = {}_{25}C_{25-24} = {}_{25}C_1 = 25$

(11) ${}_nP_3 = n(n-1)(n-2)$

(12) ${}_nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 56

(2) 40320

(3) 1

(4) 4

(5) 4

(6) 24

(7) 24

(8) 1

(9) 1

(10) 25

(11) $n(n-1)(n-2)$

(12) $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$