(1) 一辺の長さが2cmの正方形の紙を、図のように重ねていく。 1. 正方形の紙を5枚重ねたときの図形全体の面積を求める。 2. 正方形の紙をn枚重ねたときの図形全体の面積をnを使った式で表す。 (2) 一辺の長さが1cmの正方形のタイルをある規則に従って並べて図形を作る。n番目の図形の周の長さをnを使った式で表す。

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが2cmの正方形の紙を、図のように重ねていく。

1. 正方形の紙を5枚重ねたときの図形全体の面積を求める。

2. 正方形の紙をn枚重ねたときの図形全体の面積をnを使った式で表す。

(2) 一辺の長さが1cmの正方形のタイルをある規則に従って並べて図形を作る。n番目の図形の周の長さをnを使った式で表す。

2. 解き方の手順

(1)

1. 正方形の面積は $2 \times 2 = 4 cm^2$。

2. 重なる部分は一辺の長さが1cmの正方形なので、面積は $1 \times 1 = 1 cm^2$。

3. 5枚重ねると、重なる部分は4箇所。

4. 5枚重ねたときの面積は、正方形5枚分の面積から、重なる部分の面積を引いたもの。

$4 \times 5 - 1 \times 4 = 20 - 4 = 16 cm^2$

5. n枚重ねたとき、重なる部分はn-1箇所。したがって面積は、$4n - (n-1) = 4n - n + 1 = 3n + 1 cm^2$

(2)

1. 1番目の図形の周の長さは $1 \times 4 = 4cm$

2. 2番目の図形の周の長さは $1 \times 6 = 6cm$

3. 3番目の図形の周の長さは $1 \times 8 = 8cm$

4. n番目の図形の周の長さを求める。各図形の周の長さは2ずつ増えることから、これは等差数列であると考えられる。

初項が4, 公差が2の等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられるので、

$a_n = 4 + (n-1) \times 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$

3. 最終的な答え

(1)

1. 16 $cm^2$

2. $3n + 1 cm^2$

(2)

$2n + 2 cm$