与えられた命題の対偶「$n$ が ア ならば、$n^2$ は イ である」を証明する。$n$ が ア のとき、$n$ は整数 $k$ を用いて $n$ = ウ と表される。このとき、$n^2$ = エ。$2k^2$ は整数であるから、$n^2$ は オ である。対偶が真であるから、もとの命題も真である。ア、イ、オの選択肢は「偶数」または「奇数」、ウ、エの選択肢は「$2k$」、「$2k+1$」、「$2 \cdot 2k^2$」、「$2(2k^2+2k)+1$」。

1. 問題の内容

与えられた命題の対偶「$n$ が ア ならば、$n^2$ は イ である」を証明する。$n$ が ア のとき、$n$ は整数 $k$ を用いて $n$ = ウ と表される。このとき、$n^2$ = エ。$2k^2$ は整数であるから、$n^2$ は オ である。対偶が真であるから、もとの命題も真である。ア、イ、オの選択肢は「偶数」または「奇数」、ウ、エの選択肢は「$2k$」、「$2k+1$」、「$2 \cdot 2k^2$」、「$2(2k^2+2k)+1$」。

2. 解き方の手順

対偶を考えるので、もとの命題が「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」であるとすると、対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」となる。よって、ア は「奇数」、イ は「奇数」である。

$n$ が奇数のとき、$n$ は整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ と表される。よって、ウ は「$2k+1$」である。

このとき、$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ となる。よって、エ は「$2(2k^2+2k)+1$」である。

$2k^2 + 2k$ は整数であるから、$2(2k^2 + 2k) + 1$ は奇数である。よって、$n^2$ は奇数であり、オ は「奇数」である。

3. 最終的な答え

ア: 奇数

イ: 奇数

ウ: $2k+1$

エ: $2(2k^2+2k)+1$

オ: 奇数