与えられた極限値を計算する問題です。 具体的には、以下の極限値を求める必要があります。 (j) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ (k) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 4x}$ (l) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{3}}$ (m) $\lim_{x\to \pi} \frac{x-\pi}{\sin x}$ (n) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\pi - 2x}$ (o) $\lim_{x\to \pi} \frac{\pi - x}{\tan x}$ (p) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi - 2x}{\sin(x - \frac{\pi}{2})}$ (q) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算する問題です。 具体的には、以下の極限値を求める必要があります。

(j) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$

(k) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 4x}$

(l) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{3}}$

(m) $\lim_{x\to \pi} \frac{x-\pi}{\sin x}$

(n) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\pi - 2x}$

(o) $\lim_{x\to \pi} \frac{\pi - x}{\tan x}$

(p) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi - 2x}{\sin(x - \frac{\pi}{2})}$

(q) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(j) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

(k) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 4x} = \lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{4x}{\tan 4x} \cdot \frac{3x}{4x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

(l) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{3}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x}{3}}{\sin \frac{x}{3}} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

(m) $\lim_{x\to \pi} \frac{x-\pi}{\sin x}$. $x - \pi = u$ と置くと $x = u + \pi$。

$\lim_{u\to 0} \frac{u}{\sin (u+\pi)} = \lim_{u\to 0} \frac{u}{-\sin u} = -1$

(n) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\pi - 2x}$. $x = \frac{\pi}{2} + u$ と置くと $x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $u \to 0$。

$\lim_{u\to 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}+u)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2}+u)} = \lim_{u\to 0} \frac{-\sin u}{-2u} = \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{2u} = \frac{1}{2}$

(o) $\lim_{x\to \pi} \frac{\pi - x}{\tan x}$. $x = \pi + u$ と置くと $x \to \pi$ のとき $u \to 0$。

$\lim_{u\to 0} \frac{\pi - (\pi+u)}{\tan (\pi+u)} = \lim_{u\to 0} \frac{-u}{\tan u} = -1$

(p) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi - 2x}{\sin(x - \frac{\pi}{2})}$. $x - \frac{\pi}{2} = u$ と置くと $x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $u \to 0$。

$\lim_{u\to 0} \frac{\pi - 2(u + \frac{\pi}{2})}{\sin u} = \lim_{u\to 0} \frac{-2u}{\sin u} = -2$

(q) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{x} \cdot \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 \cdot \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 1 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16$

3. 最終的な答え

(j) $\frac{2}{5}$

(k) $\frac{3}{4}$

(l) $3$

(m) $-1$

(n) $\frac{1}{2}$

(o) $-1$

(p) $-2$

(q) $16$