与えられた等式 $f(x) = \int_0^1 x^2tf(t)dt + x + 1$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $f(x) = \int_0^1 x^2tf(t)dt + x + 1$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をよく見て、積分の中身について考えます。積分は $t$ について行われるため、$x$ は定数として扱えます。したがって、$\int_0^1 x^2tf(t)dt = x^2 \int_0^1 tf(t)dt$ と変形できます。

ここで、$A = \int_0^1 tf(t)dt$ とおくと、$A$ は定数となります。

したがって、$f(x) = Ax^2 + x + 1$ となります。

次に、$A$ の値を求めるために、$A = \int_0^1 tf(t)dt$ に $f(t) = At^2 + t + 1$ を代入します。

すると、$A = \int_0^1 t(At^2 + t + 1)dt = \int_0^1 (At^3 + t^2 + t)dt$ となります。

この積分を計算します。

$A = A \int_0^1 t^3dt + \int_0^1 t^2dt + \int_0^1 tdt$

$A = A \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^1 + \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1$

$A = \frac{A}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

この式から、$A$ を求めます。

$A - \frac{A}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

$\frac{3A}{4} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$

$A = \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{10}{9}$

したがって、$f(x) = \frac{10}{9}x^2 + x + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{10}{9}x^2 + x + 1$