画像の左側に書かれた関数 $y = \frac{1}{3x-2}$ の微分を求める問題と、右側に書かれた関数 $y = \frac{x}{x-1}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

画像の左側に書かれた関数 $y = \frac{1}{3x-2}$ の微分を求める問題と、右側に書かれた関数 $y = \frac{x}{x-1}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{3x-2}$ の微分

この関数を微分するには、合成関数の微分法（チェインルール）を利用します。

$u = 3x-2$ と置くと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

まず、$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ を求めます。

次に、$\frac{du}{dx} = 3$ を求めます。

チェインルールにより、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ ですから、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 3 = -\frac{3}{(3x-2)^2}$

(2) $y = \frac{x}{x-1}$ の微分

この関数を微分するには、商の微分法を利用します。商の微分法は、関数 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ に対して、$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ となります。

$f(x) = x$ と $g(x) = x-1$ と置くと、$f'(x) = 1$ と $g'(x) = 1$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{3x-2}$ の導関数：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x-2)^2}$

(2) $y = \frac{x}{x-1}$ の導関数：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x-1)^2}$