2x2行列 $\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ に対応する一次変換を $f$ とするとき、以下の点または直線の $f$ による逆像を求める問題です。 (1) $(0,0)$ (2) $(1,3)$ (3) $2x-y-5=0$ (4) $x+2y-3=0$

1. 問題の内容

2x2行列 $\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ に対応する一次変換を $f$ とするとき、以下の点または直線の $f$ による逆像を求める問題です。

(1) $(0,0)$

(2) $(1,3)$

(3) $2x-y-5=0$

(4) $x+2y-3=0$

2. 解き方の手順

与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ とします。

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = 4(1) - (-2)(-2) = 4 - 4 = 0$

行列式が0であるため、この変換は正則ではありません。つまり、逆行列が存在しません。

したがって、像が $(0,0)$ であるような点は無数に存在し、$f$ による逆像を考える際には注意が必要です。

(1) 点 $(0,0)$ の逆像を求める。

$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解けばよい。

$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは連立方程式

$4x - 2y = 0$

$-2x + y = 0$

を解くことと同じです。どちらの式も $y = 2x$ を意味します。したがって、$(0,0)$ の逆像は直線 $y = 2x$ 上のすべての点です。

(2) 点 $(1,3)$ の逆像を求める。

$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を解けばよい。

$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

これは連立方程式

$4x - 2y = 1$

$-2x + y = 3$

を解くことと同じです。

2番目の式から、$y = 2x + 3$ を得ます。これを最初の式に代入すると、

$4x - 2(2x + 3) = 1$

$4x - 4x - 6 = 1$

$-6 = 1$

これは矛盾しているので、点 $(1,3)$ の逆像は存在しません。

(3) 直線 $2x-y-5=0$ の逆像を求める。

変換後の点を $\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ とすると、$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ である。

よって、$X = 4x - 2y$、$Y = -2x + y$

このとき、$y = 2x+Y$ であり、$X = 4x - 2(2x+Y) = 4x - 4x - 2Y = -2Y$ となるので、$Y = -X/2$。

$2x-y-5=0$ に $y = 2x+Y$ を代入すると、$2x - (2x+Y) - 5 = 0$。

$-Y - 5 = 0$

$Y = -5$

つまり、変換後の点は常に $Y = -5$ を満たすので、$x$ 軸に平行な直線になります。

$Y=-2x+y = -5$ より、$y = 2x-5$。

$X=4x-2y = 4x-2(2x-5) = 10$

つまり、$X=10$ より、$x$ 軸に垂直な直線となる。

(4) 直線 $x+2y-3=0$ の逆像を求める。

$X = 4x - 2y$、$Y = -2x + y$

$x = -Y/2+y/2$

$X=4x-2y$ に代入すると、$X=4(-Y/2+y/2)-2y = -2Y+2y-2y = -2Y$。

$Y=-X/2$

$x+2y-3=0$

$x = X/4 + Y/2$ より、$X/4+Y/2+2y-3=0$。

$x=X/4+Y/2$, $y = Y+2x$ を、$x+2y-3=0$ に代入すると、

$X/4+Y/2 + 2(Y+2x) - 3 = 0$

$X/4+Y/2+2Y+4x - 3 = 0$

$X+2Y+8Y+16x-12=0$

$X+10Y+16x-12=0$

$A$が正則ではないので、求めることは難しい。

3. 最終的な答え

(1) $(0,0)$ の逆像: $y=2x$

(2) $(1,3)$ の逆像: 存在しない

(3) $2x-y-5=0$ の像: $Y=-5$

(4) $x+2y-3=0$ の像: 存在しない