3次式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ があり、その係数 $a, b, c$ は実数である。この $f(x)$ が以下の2つの条件を満たすときの、$a, b, c$ の組を全て求める。 (A) $f(x)$ は $x^2 + 2x - 1$ で割り切れる。 (B) 方程式 $f(x) = 0$ は3つの相異なる実数解をもち、それらは等差数列をなす。

1. 問題の内容

3次式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ があり、その係数 $a, b, c$ は実数である。この $f(x)$ が以下の2つの条件を満たすときの、$a, b, c$ の組を全て求める。

(A) $f(x)$ は $x^2 + 2x - 1$ で割り切れる。

(B) 方程式 $f(x) = 0$ は3つの相異なる実数解をもち、それらは等差数列をなす。

2. 解き方の手順

(A) の条件より、$f(x)$ は $x^2 + 2x - 1$ で割り切れるので、ある実数 $k$ を用いて、

$f(x) = (x^2 + 2x - 1)(x + k)$

と表せる。

これを展開すると、

$f(x) = x^3 + (k+2)x^2 + (2k-1)x - k$

したがって、$x^3 + ax^2 + bx + c = x^3 + (k+2)x^2 + (2k-1)x - k$ より、

$a = k+2$, $b = 2k-1$, $c = -k$

となる。

(B) の条件より、$f(x) = 0$ は相異なる3つの実数解を持ち、それらは等差数列をなす。

$f(x) = (x^2 + 2x - 1)(x + k) = 0$

$x^2 + 2x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$。

つまり、$x = -1+\sqrt{2}$ と $x = -1-\sqrt{2}$。

また、$x + k = 0$ より、$x = -k$。

$f(x) = 0$ は相異なる3つの実数解を持つので、$-k \neq -1+\sqrt{2}$ かつ $-k \neq -1-\sqrt{2}$ である必要がある。

3つの解が等差数列をなすので、並び方は $(-1-\sqrt{2}, -k, -1+\sqrt{2})$ もしくは $(-1+\sqrt{2}, -k, -1-\sqrt{2})$。

どちらの場合でも、等差中項の性質より、

$2(-k) = (-1-\sqrt{2}) + (-1+\sqrt{2})$

$-2k = -2$

$k = 1$

$k=1$ は $-k \neq -1+\sqrt{2}$ かつ $-k \neq -1-\sqrt{2}$ を満たす。

したがって、$a = k+2 = 1+2 = 3$, $b = 2k-1 = 2(1)-1 = 1$, $c = -k = -1$。

3. 最終的な答え

$(a, b, c) = (3, 1, -1)$