次の和を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

1. 問題の内容

次の和を求める問題です。

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

2. 解き方の手順

与えられた和は、初項 $a = 2^{1-1} = 1$、公比 $r = 2$、項数 $n$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は以下の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この公式に $a = 1$ と $r = 2$ を代入すると、

$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1}$

$S_n = \frac{2^n - 1}{1}$

$S_n = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$2^n - 1$