数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = -3$ であり、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 2$ を満たす。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

## (4) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = -3$ であり、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 2$ を満たす。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n - 2$ は、公差が -2 の等差数列を表している。

等差数列の一般項の公式は、 $a_n = a_1 + (n-1)d$ である。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差、$n$ は項の番号である。

$a_1 = -3$ と $d = -2$ を公式に代入する。

$a_n = -3 + (n-1)(-2)$

$a_n = -3 - 2n + 2$

$a_n = -2n - 1$

3. 最終的な答え

$a_n = -2n - 1$

## (5) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 2n + 4$ を満たす。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

漸化式を $a_{n+1} - a_n = -2n + 4$ と変形する。

$n = 1, 2, \dots, n-1$ を代入し、辺々を加える。

$a_2 - a_1 = -2(1) + 4$

$a_3 - a_2 = -2(2) + 4$

...

$a_n - a_{n-1} = -2(n-1) + 4$

辺々を加えると、

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (-2k + 4)$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2k + 4)$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2k) + \sum_{k=1}^{n-1} 4$

$a_n = 1 - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + 4(n-1)$

$a_n = 1 - 2 \frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1)$

$a_n = 1 - n(n-1) + 4n - 4$

$a_n = 1 - n^2 + n + 4n - 4$

$a_n = -n^2 + 5n - 3$

3. 最終的な答え

$a_n = -n^2 + 5n - 3$

## (6) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = 5$ であり、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4$ を満たす。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4$ は、公差が 4 の等差数列を表している。

等差数列の一般項の公式は、 $a_n = a_1 + (n-1)d$ である。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差、$n$ は項の番号である。

$a_1 = 5$ と $d = 4$ を公式に代入する。

$a_n = 5 + (n-1)(4)$

$a_n = 5 + 4n - 4$

$a_n = 4n + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 4n + 1$