$a \neq 0$, $b \neq 0$の条件のもと、以下の式を簡単にします。 (1) $a^2 \times a^5$ (2) $a^8 \div a^3$ (3) $(a^4)^2$ (4) $3^0$ (5) $3^{-1}$ (6) $\sqrt[3]{125}$ (7) $\sqrt[4]{81}$ (8) $\sqrt[5]{32}$ (9) $\sqrt[3]{8}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a \neq 0$, $b \neq 0$の条件のもと、以下の式を簡単にします。

(1) $a^2 \times a^5$

(2) $a^8 \div a^3$

(3) $(a^4)^2$

(4) $3^0$

(5) $3^{-1}$

(6) $\sqrt[3]{125}$

(7) $\sqrt[4]{81}$

(8) $\sqrt[5]{32}$

(9) $\sqrt[3]{8}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用います。

$a^2 \times a^5 = a^{2+5} = a^7$

(2) 指数法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用います。

$a^8 \div a^3 = a^{8-3} = a^5$

(3) 指数法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を用います。

$(a^4)^2 = a^{4 \times 2} = a^8$

(4) $0$乗の定義より、$a^0 = 1$ （ただし、$a \neq 0$）。

$3^0 = 1$

(5) 負の指数の定義より、$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$。

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

(6) 立方根の定義より、$\sqrt[3]{125}$は$3$乗すると$125$になる数。

$125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$なので、$\sqrt[3]{125} = 5$

(7) 4乗根の定義より、$\sqrt[4]{81}$は$4$乗すると$81$になる数。

$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$なので、$\sqrt[4]{81} = 3$

(8) 5乗根の定義より、$\sqrt[5]{32}$は$5$乗すると$32$になる数。

$32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$なので、$\sqrt[5]{32} = 2$

(9) 立方根の定義より、$\sqrt[3]{8}$は$3$乗すると$8$になる数。

$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$なので、$\sqrt[3]{8} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a^7$

(2) $a^5$

(3) $a^8$

(4) $1$

(5) $\frac{1}{3}$

(6) $5$

(7) $3$

(8) $2$

(9) $2$