(1) $(2x+3)^6$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ。 (2) $(3x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x+3)^6$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ。

(2) $(3x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(2x+3)^6$ の展開式の一般項は、

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{}_6 C_r (2x)^r 3^{6-r} = {}_6 C_r 2^r 3^{6-r} x^r

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である。$x^2$ の項の係数を求めるには、$r=2$ とすればよい。

したがって、$x^2$ の項は

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{}_6 C_2 (2x)^2 3^{6-2} = {}_6 C_2 \cdot 2^2 \cdot 3^4 x^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 81 x^2 = 15 \cdot 4 \cdot 81 x^2 = 60 \cdot 81 x^2 = 4860 x^2

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したがって、$x^2$ の項の係数は $4860$ である。

(2) 二項定理を用いる。$(3x-2y)^5$ の展開式の一般項は、

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{}_5 C_r (3x)^r (-2y)^{5-r} = {}_5 C_r 3^r (-2)^{5-r} x^r y^{5-r}

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である。$x^2y^3$ の項の係数を求めるには、$r=2$ とすればよい。

したがって、$x^2y^3$ の項は

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{}_5 C_2 (3x)^2 (-2y)^{5-2} = {}_5 C_2 (3x)^2 (-2y)^3 = {}_5 C_2 \cdot 3^2 \cdot (-2)^3 x^2 y^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 9 \cdot (-8) x^2 y^3 = 10 \cdot 9 \cdot (-8) x^2 y^3 = -720 x^2 y^3

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したがって、$x^2y^3$ の項の係数は $-720$ である。

3. 最終的な答え

(1) 4860

(2) -720