2次方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ に対して、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

与えられた2次方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ において、$a=1$, $b=2a$, $c=a+2$ であるから、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (2a)^2 - 4(1)(a+2)$

$D = 4a^2 - 4(a+2)$

$D = 4a^2 - 4a - 8$

異なる2つの虚数解を持つためには $D < 0$ である必要があるので、次の不等式を解きます。

$4a^2 - 4a - 8 < 0$

両辺を4で割ると

$a^2 - a - 2 < 0$

この不等式を解くために、まず2次方程式 $a^2 - a - 2 = 0$ を解きます。

$(a-2)(a+1) = 0$

よって、$a = 2$ または $a = -1$

したがって、$a^2 - a - 2 < 0$ の解は $-1 < a < 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < a < 2$