数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{4}$、$a_{n+1} = \frac{1+2a_n}{4-a_n}$ で定義されているとき、$a_n = \frac{n}{n+3}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。特に、画像の空欄を埋めることが求められています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{4}$、$a_{n+1} = \frac{1+2a_n}{4-a_n}$ で定義されているとき、$a_n = \frac{n}{n+3}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。特に、画像の空欄を埋めることが求められています。

2. 解き方の手順

(I) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ なので、与えられた式は成り立ちます。

(II) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k}{k+3}$ が成り立つと仮定します。

$n = k+1$ のとき、

$a_{k+1} = \frac{1+2a_k}{4-a_k}$ に $a_k = \frac{k}{k+3}$ を代入すると、

$a_{k+1} = \frac{1+2\cdot \frac{k}{k+3}}{4-\frac{k}{k+3}} = \frac{1+\frac{2k}{k+3}}{4-\frac{k}{k+3}} = \frac{\frac{k+3+2k}{k+3}}{\frac{4(k+3)-k}{k+3}} = \frac{\frac{3k+3}{k+3}}{\frac{4k+12-k}{k+3}} = \frac{3k+3}{3k+12} = \frac{3(k+1)}{3(k+4)} = \frac{k+1}{k+4}$

これは $a_{k+1} = \frac{k+1}{(k+1)+3}$ となり、$n = k+1$ のときにも与えられた式が成り立つことを示しています。

したがって、(I), (II) より、すべての自然数 $n$ について、$a_n = \frac{n}{n+3}$ が成り立ちます。

画像の空欄を埋める場合：

ア：$\frac{k}{k+3}$

イ：$\frac{1+2\cdot \frac{k}{k+3}}{4-\frac{k}{k+3}}$

ウ：$\frac{k+1}{k+4}$

3. 最終的な答え

ア：$\frac{k}{k+3}$

イ：$\frac{1+\frac{2k}{k+3}}{4-\frac{k}{k+3}}$

ウ：$\frac{k+1}{k+4}$