定数 $m$ を用いた3つの2次方程式が与えられています。それぞれの2次方程式の解の種類（異なる2つの実数解、重解、異なる2つの虚数解）を判別します。 (1) $x^2 + 3x + m - 1 = 0$ (2) $2x^2 - (m+1)x + 2 = 0$ (3) $5x^2 - 2x - m + 3 = 0$

1. 問題の内容

定数 $m$ を用いた3つの2次方程式が与えられています。それぞれの2次方程式の解の種類（異なる2つの実数解、重解、異なる2つの虚数解）を判別します。

(1) $x^2 + 3x + m - 1 = 0$

(2) $2x^2 - (m+1)x + 2 = 0$

(3) $5x^2 - 2x - m + 3 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

- $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持ちます。

- $D = 0$ のとき、重解（実数解）を持ちます。

- $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持ちます。

(1) $x^2 + 3x + m - 1 = 0$

$a = 1$, $b = 3$, $c = m - 1$

$D = 3^2 - 4(1)(m - 1) = 9 - 4m + 4 = 13 - 4m$

- $D > 0$ のとき、$13 - 4m > 0$ より $m < \frac{13}{4}$ のとき、異なる2つの実数解を持ちます。

- $D = 0$ のとき、$13 - 4m = 0$ より $m = \frac{13}{4}$ のとき、重解を持ちます。

- $D < 0$ のとき、$13 - 4m < 0$ より $m > \frac{13}{4}$ のとき、異なる2つの虚数解を持ちます。

(2) $2x^2 - (m+1)x + 2 = 0$

$a = 2$, $b = -(m+1)$, $c = 2$

$D = (-(m+1))^2 - 4(2)(2) = (m+1)^2 - 16 = m^2 + 2m + 1 - 16 = m^2 + 2m - 15 = (m+5)(m-3)$

- $D > 0$ のとき、$(m+5)(m-3) > 0$ より $m < -5$ または $m > 3$ のとき、異なる2つの実数解を持ちます。

- $D = 0$ のとき、$(m+5)(m-3) = 0$ より $m = -5$ または $m = 3$ のとき、重解を持ちます。

- $D < 0$ のとき、$(m+5)(m-3) < 0$ より $-5 < m < 3$ のとき、異なる2つの虚数解を持ちます。

(3) $5x^2 - 2x - m + 3 = 0$

$a = 5$, $b = -2$, $c = -m + 3$

$D = (-2)^2 - 4(5)(-m + 3) = 4 + 20m - 60 = 20m - 56$

- $D > 0$ のとき、$20m - 56 > 0$ より $m > \frac{56}{20} = \frac{14}{5}$ のとき、異なる2つの実数解を持ちます。

- $D = 0$ のとき、$20m - 56 = 0$ より $m = \frac{14}{5}$ のとき、重解を持ちます。

- $D < 0$ のとき、$20m - 56 < 0$ より $m < \frac{14}{5}$ のとき、異なる2つの虚数解を持ちます。

3. 最終的な答え

(1)

- $m < \frac{13}{4}$ のとき、異なる2つの実数解

- $m = \frac{13}{4}$ のとき、重解

- $m > \frac{13}{4}$ のとき、異なる2つの虚数解

(2)

- $m < -5$ または $m > 3$ のとき、異なる2つの実数解

- $m = -5$ または $m = 3$ のとき、重解

- $-5 < m < 3$ のとき、異なる2つの虚数解

(3)

- $m > \frac{14}{5}$ のとき、異なる2つの実数解

- $m = \frac{14}{5}$ のとき、重解

- $m < \frac{14}{5}$ のとき、異なる2つの虚数解