3次方程式 $x^3 - x^2 - x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような、$a$の値をすべて求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 - x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような、$a$の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - x^2 - x + a$ とおく。$f(x)=0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、$f(x)$が極値を持ち、極大値または極小値の少なくとも一方が0となることである。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

$$(3x + 1)(x - 1) = 0$$

よって、$x = -\frac{1}{3}$ または $x = 1$

$f(x)$ の増減を調べる。

$x < -\frac{1}{3}$ のとき、$f'(x) > 0$

$-\frac{1}{3} < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -\frac{1}{3}$ で極大値、$x = 1$ で極小値をとる。

極大値は

$$f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + a = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + a = \frac{-1 - 3 + 9}{27} + a = \frac{5}{27} + a$$

極小値は

$$f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + a = 1 - 1 - 1 + a = -1 + a$$

$f(x)=0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(-\frac{1}{3}) = 0$ または $f(1) = 0$ でなければならない。

i) $f(-\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + a = 0$ のとき、$a = -\frac{5}{27}$

ii) $f(1) = -1 + a = 0$ のとき、$a = 1$

したがって、$a = -\frac{5}{27}$ または $a = 1$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{5}{27}, 1$