2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2$

$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 - 1$

$y = (x - 1)^2 + 1$

この式から、頂点の座標は $(1, 1)$ であることがわかります。また、このグラフは下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標である $x=1$ は定義域に含まれています。

したがって、$x=1$ のとき最小値 $y = 1$ をとります。

最大値を求めるためには、定義域の端点 $x=-1$ と $x=2$ における $y$ の値を比較します。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

$x = -1$ のとき $y = 5$ で、$x = 2$ のとき $y = 2$ なので、最大値は $5$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 5 ($x = -1$ のとき)

最小値: 1 ($x = 1$ のとき)