数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{4}{4 - a_n}$ で定義されるとき、$a_n = \frac{2n}{n+1}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。画像は証明の途中の穴埋め部分を求めるものです。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{4}{4 - a_n}$ で定義されるとき、$a_n = \frac{2n}{n+1}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。画像は証明の途中の穴埋め部分を求めるものです。

2. 解き方の手順

(I) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1$ より、成り立つことは示されています。

(II) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{2k}{k+1}$ が成り立つと仮定します。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1}$ について考えます。数列の定義より、$a_{k+1} = \frac{4}{4 - a_k}$ です。仮定より $a_k = \frac{2k}{k+1}$ なので、$a_{k+1} = \frac{4}{4 - \frac{2k}{k+1}}$ となります。

これを計算すると、

$$a_{k+1} = \frac{4}{4 - \frac{2k}{k+1}} = \frac{4}{\frac{4(k+1) - 2k}{k+1}} = \frac{4(k+1)}{4k + 4 - 2k} = \frac{4(k+1)}{2k + 4} = \frac{2(k+1)}{k+2} = \frac{2(k+1)}{(k+1) + 1}$$

となり、$a_{k+1} = \frac{2(k+1)}{(k+1) + 1}$ が成り立ちます。

したがって、$n=k+1$ のときにも $a_n = \frac{2n}{n+1}$ は成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{2k}{k+1}$

イ: $\frac{4}{4 - a_k}$

ウ: $\frac{2(k+1)}{k+2}$