(1) ベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ と $\vec{b} = (5, 4)$ が与えられたとき、$|\vec{a}|$ と $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $AC = 2$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$ である。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$\vec{AD}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表し、$|\vec{AD}|$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ と $\vec{b} = (5, 4)$ が与えられたとき、$|\vec{a}|$ と $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $AC = 2$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$ である。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$\vec{AD}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表し、$|\vec{AD}|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの大きさの公式と内積の公式を使用する。

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(5) + (2)(4) = -5 + 8 = 3$

(2) 角の二等分線の性質より、$BD : DC = AB : AC = 3 : 2$。したがって、$BD = \frac{3}{5}BC$。

よって、$\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AC}$。

$\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AC}$より、$\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AC}$。

$|\vec{AD}|^2 = \left(\frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AC}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AC}\right)$

$= \frac{4}{25}|\vec{AB}|^2 + \frac{12}{25}\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \frac{9}{25}|\vec{AC}|^2$

$= \frac{4}{25}(3^2) + \frac{12}{25}(3)(2)\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{9}{25}(2^2)$

$= \frac{4}{25}(9) + \frac{12}{25}(2) + \frac{9}{25}(4)$

$= \frac{36}{25} + \frac{24}{25} + \frac{36}{25} = \frac{96}{25}$

$|\vec{AD}| = \sqrt{\frac{96}{25}} = \frac{\sqrt{96}}{5} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(2) $\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AC}$、$|\vec{AD}| = \frac{4\sqrt{6}}{5}$