与えられた方程式がどのような図形を表すかを答えます。 (1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ (2) $y^2 + 8y - 16x = 0$ (3) $4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y - 56 = 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式がどのような図形を表すかを答えます。

(1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$

(2) $y^2 + 8y - 16x = 0$

(3) $4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y - 56 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$と$y$について平方完成を行います。

$x^2 + 6x + 4(y^2 - 2y) + 9 = 0$

$(x^2 + 6x + 9) + 4(y^2 - 2y + 1) - 9 - 4 + 9 = 0$

$(x+3)^2 + 4(y-1)^2 = 4$

$\frac{(x+3)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{1} = 1$

これは楕円の方程式です。

(2)

$y^2 + 8y - 16x = 0$

$(y^2 + 8y + 16) - 16 - 16x = 0$

$(y+4)^2 = 16x + 16$

$(y+4)^2 = 16(x+1)$

これは放物線の方程式です。

(3)

$4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y - 56 = 0$

$4(x^2 - 4x) - 9(y^2 + 4y) - 56 = 0$

$4(x^2 - 4x + 4) - 16 - 9(y^2 + 4y + 4) + 36 - 56 = 0$

$4(x-2)^2 - 9(y+2)^2 = 36$

$\frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{4} = 1$

これは双曲線の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) 楕円

(2) 放物線

(3) 双曲線