放物線 $y^2 = 4x$ を $x$軸方向に $-1$、$y$軸方向に $2$ だけ平行移動したときの、移動後の放物線の方程式と焦点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y^2 = 4x$ を $x$軸方向に $-1$、$y$軸方向に $2$ だけ平行移動したときの、移動後の放物線の方程式と焦点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y^2 = 4x$ を $x$軸方向に $-1$、$y$軸方向に $2$ だけ平行移動することを考えます。

平行移動後の放物線の方程式は、$x$ を $x+1$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えることで得られます。

したがって、移動後の放物線の方程式は次のようになります。

$$(y-2)^2 = 4(x+1)$$

$$y^2 - 4y + 4 = 4x + 4$$

$$y^2 - 4y = 4x$$

$$y^2 - 4y + 4 = 4x + 4$$

$$(y-2)^2 = 4(x+1)$$

次に、移動後の放物線の焦点を求めます。

元の放物線 $y^2 = 4x$ の焦点は $(1, 0)$ です。

この焦点を $x$軸方向に $-1$、$y$軸方向に $2$ だけ平行移動すると、$(1-1, 0+2) = (0, 2)$ となります。

したがって、移動後の放物線の焦点の座標は $(0, 2)$ です。

3. 最終的な答え

移動後の放物線の方程式: $(y-2)^2 = 4(x+1)$

移動後の放物線の焦点の座標: $(0, 2)$