2点 $(2, 0)$ と $(-2, 0)$ を焦点とする直角双曲線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $(2, 0)$ と $(-2, 0)$ を焦点とする直角双曲線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

直角双曲線は、漸近線が直交する双曲線です。一般に、焦点が $(\pm c, 0)$ である双曲線の方程式は、

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

で表されます。焦点の座標は $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ で与えられます。

直角双曲線の場合、$a = b$ が成り立ちます。したがって、与えられた焦点の座標より、$c = 2$ なので、$c^2 = 4 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ となります。

よって、$a^2 = 2$ です。

双曲線の方程式は、

$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$

両辺に 2 を掛けると、

$x^2 - y^2 = 2$

これが求める直角双曲線の方程式です。

3. 最終的な答え

$x^2 - y^2 = 2$