ある空港で205人に北海道と沖縄に行ったことがあるかどうか尋ねたところ、北海道に行ったことがある人は92人、沖縄に行ったことがある人は83人だった。北海道だけに行ったことがある人と沖縄だけに行ったことがある人が7:6の比でいたとき、どちらにも行ったことがない人の人数を求める。

1. 問題の内容

ある空港で205人に北海道と沖縄に行ったことがあるかどうか尋ねたところ、北海道に行ったことがある人は92人、沖縄に行ったことがある人は83人だった。北海道だけに行ったことがある人と沖縄だけに行ったことがある人が7:6の比でいたとき、どちらにも行ったことがない人の人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、集合の記号を使って、それぞれの人数を表します。

* 全体の人数を $U$ とします。 $U = 205$

* 北海道に行ったことがある人の集合を $H$ とします。 $|H| = 92$

* 沖縄に行ったことがある人の集合を $O$ とします。 $|O| = 83$

* 北海道だけに行った人の集合を $H_{only}$ とします。

* 沖縄だけに行った人の集合を $O_{only}$ とします。

* 北海道と沖縄の両方に行った人の集合を $H \cap O$ とします。

* どちらにも行ったことがない人の集合を $(H \cup O)^c$ とします。

問題文より、$H_{only}$ と $O_{only}$ の比が7:6なので、$H_{only} = 7x$、$O_{only} = 6x$ と表せます。

$H = H_{only} \cup (H \cap O)$ であり、$H_{only}$ と $H \cap O$ は共通部分を持たないので、

$|H| = |H_{only}| + |H \cap O|$。同様に、$|O| = |O_{only}| + |H \cap O|$。

$|H| = 92$ なので、$92 = 7x + |H \cap O|$。

$|O| = 83$ なので、$83 = 6x + |H \cap O|$。

上の2つの式から、$|H \cap O|$ を消去します。

$92 - 7x = 83 - 6x$

$9 = x$

したがって、$x = 9$ です。

$H_{only} = 7x = 7 \times 9 = 63$

$O_{only} = 6x = 6 \times 9 = 54$

$|H \cap O| = 92 - 7x = 92 - 63 = 29$

$|H \cap O| = 83 - 6x = 83 - 54 = 29$

どちらかに行ったことのある人の数は、

$|H \cup O| = |H_{only}| + |O_{only}| + |H \cap O| = 63 + 54 + 29 = 146$

どちらにも行ったことがない人の数は、全体の人数からどちらかに行ったことのある人の数を引けばよいので、

$|(H \cup O)^c| = |U| - |H \cup O| = 205 - 146 = 59$

3. 最終的な答え

59人