直線 $4x - 2y - 3 = 0$ に関して、点 $A(5, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $4x - 2y - 3 = 0$ に関して、点 $A(5, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(p, q)$ とおく。

まず、線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $4x - 2y - 3 = 0$ 上にあるので、中点 $M$ の座標を求め、その座標を直線の方程式に代入する。

中点 $M$ の座標は、

$$M\left(\frac{5+p}{2}, \frac{1+q}{2}\right)$$

$M$ は直線 $4x - 2y - 3 = 0$ 上にあるから、

$$4\left(\frac{5+p}{2}\right) - 2\left(\frac{1+q}{2}\right) - 3 = 0$$

$$2(5+p) - (1+q) - 3 = 0$$

$$10+2p - 1 - q - 3 = 0$$

$$2p - q + 6 = 0$$

$$q = 2p + 6 \qquad (1)$$

次に、直線 $AB$ と直線 $4x - 2y - 3 = 0$ は垂直である。直線 $AB$ の傾きを計算し、直線 $4x - 2y - 3 = 0$ の傾きとの積が $-1$ になることを利用する。

直線 $AB$ の傾きは、

$$\frac{q - 1}{p - 5}$$

直線 $4x - 2y - 3 = 0$ の傾きは $2$ である。

$$4x - 2y - 3 = 0$$

$$2y = 4x - 3$$

$$y = 2x - \frac{3}{2}$$

よって、$2$ つの直線が垂直である条件は、

$$\frac{q - 1}{p - 5} \cdot 2 = -1$$

$$2(q - 1) = -(p - 5)$$

$$2q - 2 = -p + 5$$

$$p + 2q - 7 = 0 \qquad (2)$$

式 (1) を式 (2) に代入する。

$$p + 2(2p + 6) - 7 = 0$$

$$p + 4p + 12 - 7 = 0$$

$$5p + 5 = 0$$

$$p = -1$$

式 (1) より、

$$q = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4$$

したがって、点 $B$ の座標は $(-1, 4)$ である。

3. 最終的な答え

$(-1, 4)$