xは実数とする。以下のそれぞれの命題において、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないのうち、どれが当てはまるか答える。 (1) $x=2$ は $x^2 + x - 6 = 0$ であるための? (2) $\angle A < 90^\circ$ かつ $\angle B < 90^\circ$ は、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための? (3) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための?

代数学条件必要条件十分条件絶対値二次方程式
2025/7/1

1. 問題の内容

xは実数とする。以下のそれぞれの命題において、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないのうち、どれが当てはまるか答える。
(1) x=2x=2x2+x6=0x^2 + x - 6 = 0 であるための?
(2) A<90\angle A < 90^\circ かつ B<90\angle B < 90^\circ は、ABC\triangle ABC が鋭角三角形であるための?
(3) x=0|x| = 0x=0x = 0 であるための?

2. 解き方の手順

(1) x=2x=2 ならば x2+x6=22+26=4+26=0x^2+x-6 = 2^2+2-6 = 4+2-6 = 0 なので、x=2x=2x2+x6=0x^2+x-6=0 であるための十分条件である。
x2+x6=0x^2+x-6=0 を解くと、(x+3)(x2)=0(x+3)(x-2)=0 となり、x=3,2x=-3, 2 となる。したがって、x2+x6=0x^2+x-6=0 ならば x=2x=2 とは限らないので、x=2x=2x2+x6=0x^2+x-6=0 であるための必要条件ではない。
よって、十分条件であるが必要条件ではないので、答えはイ。
(2) A<90\angle A < 90^\circ かつ B<90\angle B < 90^\circ ならば、ABC\triangle ABC が鋭角三角形であるとは限らない。例えば、A=80\angle A = 80^\circ, B=80\angle B = 80^\circ のとき、C=1808080=20<90\angle C = 180^\circ - 80^\circ - 80^\circ = 20^\circ < 90^\circ となり、ABC\triangle ABC は鋭角三角形である。しかし、A=89\angle A = 89^\circ, B=89\angle B = 89^\circ のとき、C=1808989=2<90\angle C = 180^\circ - 89^\circ - 89^\circ = 2^\circ < 90^\circ となり、ABC\triangle ABC は鋭角三角形である。一方で、A=30\angle A = 30^\circ, B=30\angle B = 30^\circ ならば、C=1803030=120>90\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ > 90^\circ となり、ABC\triangle ABC は鋭角三角形ではない。したがって、A<90\angle A < 90^\circ かつ B<90\angle B < 90^\circ は、ABC\triangle ABC が鋭角三角形であるための十分条件ではない。
ABC\triangle ABC が鋭角三角形ならば、A<90\angle A < 90^\circ, B<90\angle B < 90^\circ, C<90\angle C < 90^\circ が成り立つ。したがって、ABC\triangle ABC が鋭角三角形ならば、A<90\angle A < 90^\circ かつ B<90\angle B < 90^\circ が成り立つので、A<90\angle A < 90^\circ かつ B<90\angle B < 90^\circ は、ABC\triangle ABC が鋭角三角形であるための必要条件である。しかし、A<90\angle A < 90^\circ, B<90\angle B < 90^\circ だけでは C<90\angle C < 90^\circ とは限らないので、ABC\triangle ABC が鋭角三角形であるための十分条件ではない。例えば、A=45\angle A=45^\circ, B=45\angle B=45^\circ とすると、C=1804545=90\angle C=180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ となるので、直角三角形になる。A=30\angle A=30^\circ, B=30\angle B=30^\circ とすると、C=1803030=120>90\angle C=180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ > 90^\circ となるので、鈍角三角形になる。
十分条件でも必要条件でもないので、答えはエ。
(3) x=0|x|=0 ならば x=0x=0 である。
x=0x=0 ならば x=0=0|x|=|0|=0 である。
したがって、x=0|x|=0x=0x=0 であるための必要十分条件である。
よって、答えはウ。

3. 最終的な答え

(1) イ
(2) エ
(3) ウ

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