xは実数とする。以下のそれぞれの命題において、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないのうち、どれが当てはまるか答える。 (1) $x=2$ は $x^2 + x - 6 = 0$ であるための? (2) $\angle A < 90^\circ$ かつ $\angle B < 90^\circ$ は、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための? (3) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための?
2025/7/1
1. 問題の内容
xは実数とする。以下のそれぞれの命題において、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないのうち、どれが当てはまるか答える。
(1) は であるための?
(2) かつ は、 が鋭角三角形であるための?
(3) は であるための?
2. 解き方の手順
(1) ならば なので、 は であるための十分条件である。
を解くと、 となり、 となる。したがって、 ならば とは限らないので、 は であるための必要条件ではない。
よって、十分条件であるが必要条件ではないので、答えはイ。
(2) かつ ならば、 が鋭角三角形であるとは限らない。例えば、, のとき、 となり、 は鋭角三角形である。しかし、, のとき、 となり、 は鋭角三角形である。一方で、, ならば、 となり、 は鋭角三角形ではない。したがって、 かつ は、 が鋭角三角形であるための十分条件ではない。
が鋭角三角形ならば、, , が成り立つ。したがって、 が鋭角三角形ならば、 かつ が成り立つので、 かつ は、 が鋭角三角形であるための必要条件である。しかし、, だけでは とは限らないので、 が鋭角三角形であるための十分条件ではない。例えば、, とすると、 となるので、直角三角形になる。, とすると、 となるので、鈍角三角形になる。
十分条件でも必要条件でもないので、答えはエ。
(3) ならば である。
ならば である。
したがって、 は であるための必要十分条件である。
よって、答えはウ。
3. 最終的な答え
(1) イ
(2) エ
(3) ウ