(1) 命題「$a=2$ ならば $a=1$ または $a=2$」が真であるか偽であるかを判定する問題。 (2) 実数 $a, b$ について、条件「$a^2=1$ かつ $b=2$」の否定を求める問題。 (3) 命題「$|x|<2$ ならば $|x|<1$」が真であるか偽であるかを判定し、この命題の対偶を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 命題「$a=2$ ならば $a=1$ または $a=2$」が真であるか偽であるかを判定する問題。

(2) 実数 $a, b$ について、条件「$a^2=1$ かつ $b=2$」の否定を求める問題。

(3) 命題「$|x|<2$ ならば $|x|<1$」が真であるか偽であるかを判定し、この命題の対偶を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

$a=2$ は $a=1$ または $a=2$ を満たすので、命題は真である。

(2)

条件「$a^2=1$ かつ $b=2$」の否定は、「$a^2=1$」の否定または「$b=2$」の否定となる。

「$a^2=1$」の否定は「$a^2 \neq 1$」であり、これは「$a \neq 1$ または $a \neq -1$」と同値である。

「$b=2$」の否定は「$b \neq 2$」である。

したがって、条件の否定は「($a \neq 1$ または $a \neq -1$) または $b \neq 2$」となる。

これは「$a \neq 1$ または $a \neq -1$ または $b \neq 2$」と同値である。

よって、$\boxed{1}$ には「または」、$\boxed{2}$ には「$b \neq 2$」が入る。

(3)

$|x|<2$ ならば $|x|<1$ は偽である。（例：$x=1.5$）

命題「$P$ ならば $Q$」の対偶は「$\overline{Q}$ ならば $\overline{P}$」である。

したがって、「$|x|<2$ ならば $|x|<1$」の対偶は「$|x| \geq 1$ ならば $|x| \geq 2$」となる。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) $\boxed{1}$: または, $\boxed{2}$: $b \neq 2$

(3) $\boxed{1}$: 偽, $\boxed{2}$: $|x| \geq 1$ ならば $|x| \geq 2$