実数 $x$ について、命題 A: 「$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ ならば $x > 1$」 を考える。 (1) 命題 A の対偶を求める。 (2) 命題 A が偽であることを示す反例となる $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ について、命題 A: 「$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ ならば $x > 1$」 を考える。

(1) 命題 A の対偶を求める。

(2) 命題 A が偽であることを示す反例となる $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

命題「$p$ ならば $q$」の対偶は、「$\overline{q}$ ならば $\overline{p}$」である。

したがって、命題 A の対偶は、「$x \le 1$ ならば $x^2 \le 1$ かつ $x^3 \le 0$」となる。

したがって、①にはカ、②にはエが入る。

(2)

命題 A: 「$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ ならば $x > 1$」が偽であるということは、$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ であるにもかかわらず、$x \le 1$ となる $x$ が存在することである。

ア）$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x^2 = \frac{1}{4} < 1$ かつ $x^3 = -\frac{1}{8} < 0$ なので、$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ を満たさない。

イ）$x = 0$ のとき、$x^2 = 0 < 1$ かつ $x^3 = 0$ なので、$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ を満たさない。

ウ）$x = \frac{1}{2}$ のとき、$x^2 = \frac{1}{4} < 1$ かつ $x^3 = \frac{1}{8} > 0$ なので、$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ を満たす。また、$x = \frac{1}{2} < 1$ なので、$x \le 1$ も満たす。したがって、反例となる。

エ）$x = \frac{3}{2}$ のとき、$x^2 = \frac{9}{4} > 1$ かつ $x^3 = \frac{27}{8} > 0$ なので、$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ を満たす。また、$x = \frac{3}{2} > 1$ なので、$x > 1$ を満たす。

オ）$x = 2$ のとき、$x^2 = 4 > 1$ かつ $x^3 = 8 > 0$ なので、$x^2 > 1$ または $x^3 > 0$ を満たす。また、$x = 2 > 1$ なので、$x > 1$ を満たす。

したがって、反例となるのは、$x = \frac{1}{2}$である。

3. 最終的な答え

(1) ①：カ、②：エ

(2) ウ