2重根号 $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を計算して、簡単な形にしなさい。

1. 問題の内容

2重根号 $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を計算して、簡単な形にしなさい。

2. 解き方の手順

2重根号を外す公式は、$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ です。

今回の問題では、$4+2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に分解する必要があります。

$4+2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ と比較すると、

$a+b=4$

$ab=3$

となるような $a$ と $b$ を探します。

$a=3$, $b=1$ とすると、$a+b=3+1=4$, $ab=3\times1=3$ となり、条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2\sqrt{3\times1}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}+1$