6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字を繰り返し用いても良い。 (1) 3桁の整数は全部で何個できるか。 (2) 3桁の整数を小さい順に並べるとき、100番目の数を求めよ。 (3) 十の位が0である3桁の整数すべての和を求めよ。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字を繰り返し用いても良い。

(1) 3桁の整数は全部で何個できるか。

(2) 3桁の整数を小さい順に並べるとき、100番目の数を求めよ。

(3) 十の位が0である3桁の整数すべての和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数の個数を求める。

百の位は0以外の5通り、十の位は6通り、一の位は6通り。したがって、3桁の整数は$5 \times 6 \times 6 = 180$個できる。

(2) 3桁の整数を小さい順に並べたときの100番目の数を求める。

まず、100未満の数を考える。

百の位が1の数は、$6 \times 6 = 36$個。

百の位が2の数は、$6 \times 6 = 36$個。

百の位が3の数は、$6 \times 6 = 36$個。

$36 + 36 + 36 = 108$となり、100番目の数は300番台であることがわかる。

100番目の数は、300番台の数の中で、$100 - (36 + 36) = 28$番目の数。

十の位が0の数は6個、十の位が1の数は6個、十の位が2の数は6個、十の位が3の数は6個。

$6 + 6 + 6 + 6 = 24$なので、100番目の数は340番台であることがわかる。

340番台の数の中で、$28 - 24 = 4$番目の数。

340, 341, 342, 343, 344, 345なので、4番目の数は343。

(3) 十の位が0である3桁の整数すべての和を求める。

十の位が0である3桁の整数は、百の位が1, 2, 3, 4, 5の5通り、一の位が0, 1, 2, 3, 4, 5の6通り。

したがって、$5 \times 6 = 30$個ある。

百の位の和は、$(1+2+3+4+5) \times 6 = 15 \times 6 = 90$。

一の位の和は、$(0+1+2+3+4+5) \times 5 = 15 \times 5 = 75$。

したがって、和は$90 \times 100 + 0 \times 30 \times 10 + 75 \times 1 = 9000 + 75 = 9075$。

3. 最終的な答え

(1) 180個

(2) 343

(3) 9075