次の3つの数の大小を比較します。 (1) $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}$ (2) $2^{30}, 3^{20}, 6^{10}$

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の3つの数の大小を比較します。

(1) $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}$

(2) $2^{30}, 3^{20}, 6^{10}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}$ の大小を比較します。

これらの数をすべて12乗します。

$(\sqrt{2})^{12} = (2^{\frac{1}{2}})^{12} = 2^6 = 64$

$(\sqrt[3]{3})^{12} = (3^{\frac{1}{3}})^{12} = 3^4 = 81$

$(\sqrt[4]{5})^{12} = (5^{\frac{1}{4}})^{12} = 5^3 = 125$

したがって、$64 < 81 < 125$ より、$\sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5}$ となります。

(2) $2^{30}, 3^{20}, 6^{10}$ の大小を比較します。

これらの数をすべて10乗根にします。

$(2^{30})^{\frac{1}{10}} = 2^3 = 8$

$(3^{20})^{\frac{1}{10}} = 3^2 = 9$

$(6^{10})^{\frac{1}{10}} = 6^1 = 6$

したがって、$6 < 8 < 9$ より、$6^{10} < 2^{30} < 3^{20}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5}$

(2) $6^{10} < 2^{30} < 3^{20}$