$x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x$, $y$, $z$ の組の総数を求めます。

1. 問題の内容

$x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x$, $y$, $z$ の組の総数を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組合せの問題として考えることができます。10個のものを3つのグループ（$x$, $y$, $z$）に分ける場合の数を求める問題と同じです。

具体的には、10個の丸（〇）と2つの仕切り（｜）を並べる方法の数を考えます。例えば、「〇〇｜〇〇〇｜〇〇〇〇〇」は $x=2$, $y=3$, $z=5$ に対応します。「｜〇〇〇〇〇〇〇〇〇｜」は $x=0$, $y=10$, $z=0$ に対応します。

したがって、全部で12個のもの（10個の丸と2個の仕切り）を並べる順列の数を考えればよく、これは12個から仕切りの位置2個を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

組み合わせの公式は次の通りです。

$$$$

{}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

$$$$

この問題の場合、$n = 10 + 3 - 1 = 12$ で、$r = 3 - 1 = 2$ です。

したがって、組み合わせの数は

$$$$

{}_{12}C_{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66

$$$$

3. 最終的な答え

66個