5つの数字0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる自然数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字を繰り返し使って良いものとします。問題は以下の通りです。 (1) 4桁の自然数は何個か？ (2) 4桁以下の自然数は何個か？ (3) 4桁の偶数は何個か？ (4) 213より小さい自然数は何個か？

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる自然数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字を繰り返し使って良いものとします。問題は以下の通りです。

(1) 4桁の自然数は何個か？

(2) 4桁以下の自然数は何個か？

(3) 4桁の偶数は何個か？

(4) 213より小さい自然数は何個か？

2. 解き方の手順

(1) 4桁の自然数の個数

4桁の自然数は、千の位に0以外の数字が入り、百、十、一の位には0から4までの数字が入ります。

したがって、千の位は1, 2, 3, 4の4通り、百、十、一の位はそれぞれ0, 1, 2, 3, 4の5通りあります。

したがって、4桁の自然数の個数は、$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$ 個です。

(2) 4桁以下の自然数の個数

4桁以下の自然数は、1桁、2桁、3桁、4桁の自然数を合わせたものです。

1桁の自然数は、1, 2, 3, 4の4個です。

2桁の自然数は、十の位が0以外なので4通り、一の位は5通りなので、$4 \times 5 = 20$ 個です。

3桁の自然数は、百の位が0以外なので4通り、十の位は5通り、一の位は5通りなので、$4 \times 5 \times 5 = 100$ 個です。

4桁の自然数は(1)より、500個です。

したがって、4桁以下の自然数の個数は、$4 + 20 + 100 + 500 = 624$ 個です。

(3) 4桁の偶数の個数

4桁の偶数は、千の位に0以外の数字が入り、百、十の位には0から4までの数字が入り、一の位には0, 2, 4のいずれかが入ります。

したがって、千の位は1, 2, 3, 4の4通り、百、十の位はそれぞれ0, 1, 2, 3, 4の5通り、一の位は0, 2, 4の3通りあります。

したがって、4桁の偶数の個数は、$4 \times 5 \times 5 \times 3 = 300$ 個です。

(4) 213より小さい自然数の個数

1桁の自然数は、1, 2, 3, 4の4個です。

2桁の自然数は、10から19まで、20から21までを考えます。10から19までの数字は、十の位が1で、一の位が0, 1, 2, 3, 4の5個です。20から21まででは、十の位が2で、一の位が0, 1の2個です。したがって2桁の数は$5 + 2 = 7$個です。

3桁の自然数は、100台と200台を考えます。

100台は100から199までですが、使える数字は0, 1, 2, 3, 4だけなので、100から144までとなります。

100台：百の位が1で、十の位が0, 1, 2, 3, 4のいずれか。

- 十の位が0の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

- 十の位が1の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

- 十の位が2の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

- 十の位が3の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

- 十の位が4の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

合計 $5 \times 5 = 25$個

200台：百の位が2で、十の位が0, 1。

- 十の位が0の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

- 十の位が1の時、一の位は0, 1, 2, 3, 4の5個

210, 211, 212, 213より小さいのは210, 211, 212の3個。

合計 3個

全部で $4 + 7 + 25 + 3 = 39$個です。

3. 最終的な答え

(1) 500個

(2) 624個

(3) 300個

(4) 39個