1. 次の計算をしなさい。 (1) $\frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12}$ (2) $\sqrt{27} - \frac{6}{\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{24} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \sqrt{6}$ (4) $\sqrt{24} - \sqrt{6} - \frac{\sqrt{12}}{3}$ (5) $\sqrt{12} - \frac{2}{\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。問題用紙に書かれている平方根の計算問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1. 次の計算をしなさい。

(1) $\frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12}$

(2) $\sqrt{27} - \frac{6}{\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{24} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \sqrt{6}$

(4) $\sqrt{24} - \sqrt{6} - \frac{\sqrt{12}}{3}$

(5) $\sqrt{12} - \frac{2}{\sqrt{3}}$

2. 次の計算をしなさい。

(1) $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})$

(2) $\sqrt{5}(2\sqrt{2} - 1)$

(3) $(\sqrt{3} - 1) \div \sqrt{12}$

(4) $(\sqrt{12} - \sqrt{15}) \div 2\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

1. (1) $\frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12}$

まず、$\frac{3}{\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

次に、$\sqrt{12}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

2. (2) $\sqrt{27} - \frac{6}{\sqrt{3}}$

まず、$\sqrt{27}$ を簡単にします。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

次に、$\frac{6}{\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{27} - \frac{6}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. (3) $\sqrt{24} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \sqrt{6}$

まず、$\sqrt{24}$ を簡単にします。

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

次に、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

したがって、

$\sqrt{24} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{6} = 3\sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{6\sqrt{6} - \sqrt{6}}{2} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$

4. (4) $\sqrt{24} - \sqrt{6} - \frac{\sqrt{12}}{3}$

$\sqrt{24}$ は $2\sqrt{6}$ に、$\sqrt{12}$ は $2\sqrt{3}$ になることは既にわかっています。

したがって、

$\sqrt{24} - \sqrt{6} - \frac{\sqrt{12}}{3} = 2\sqrt{6} - \sqrt{6} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

5. (5) $\sqrt{12} - \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{12}$ は $2\sqrt{3}$ になることは既にわかっています。$\frac{2}{\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

したがって、

$\sqrt{12} - \frac{2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

6. (1) $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})$

$\sqrt{3}$ を分配します。

$\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\sqrt{2} = 2(3) - 2\sqrt{6} = 6 - 2\sqrt{6}$

7. (2) $\sqrt{5}(2\sqrt{2} - 1)$

$\sqrt{5}$ を分配します。

$\sqrt{5}(2\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{5}\sqrt{2} - \sqrt{5} = 2\sqrt{10} - \sqrt{5}$

8. (3) $(\sqrt{3} - 1) \div \sqrt{12}$

$\sqrt{12}$ は $2\sqrt{3}$ なので、

$(\sqrt{3} - 1) \div \sqrt{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

9. (4) $(\sqrt{12} - \sqrt{15}) \div 2\sqrt{3}$

$\sqrt{12}$ は $2\sqrt{3}$ なので、

$(\sqrt{12} - \sqrt{15}) \div 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{15}}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化します。

$\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{15}}{2\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} - \sqrt{15})\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{6 - \sqrt{45}}{6} = \frac{6 - 3\sqrt{5}}{6} = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

1. (1) $3\sqrt{3}$

2. (2) $\sqrt{3}$

3. (3) $\frac{5\sqrt{6}}{2}$

4. (4) $\sqrt{6} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

5. (5) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

6. (1) $6 - 2\sqrt{6}$

7. (2) $2\sqrt{10} - \sqrt{5}$

8. (3) $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

9. (4) $\frac{2 - \sqrt{5}}{2}$