与えられた8つの計算問題を解きます。これらの問題は、平方根を含む数の加算、減算、乗算、除算、および式の展開を含みます。

1. 問題の内容

与えられた8つの計算問題を解きます。これらの問題は、平方根を含む数の加算、減算、乗算、除算、および式の展開を含みます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$で括ると、$(1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$となります。

(2) $5\sqrt{3} - \sqrt{27}$

$\sqrt{27}$を簡単にします。$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

したがって、$5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5-3)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$となります。

(3) $\sqrt{12} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$

$\sqrt{12}$を簡単にします。$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

したがって、$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2-3+5)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$となります。

(4) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$

$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$となります。

(5) $\sqrt{52} \div \sqrt{13}$

$\sqrt{52} \div \sqrt{13} = \frac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{52}{13}} = \sqrt{4} = 2$となります。

(6) $\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{8})$

$\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{8}) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \sqrt{8} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$となります。

(7) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$となります。

(8) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$

これは$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$の形です。

したがって、$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$となります。

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{2}$

(2) $2\sqrt{3}$

(3) $4\sqrt{3}$

(4) $6$

(5) $2$

(6) $6$

(7) $5 + 2\sqrt{6}$

(8) $4$