$\sqrt{60a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{60a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{60a}$ が自然数になるためには、$60a$ がある自然数の2乗になる必要がある。

まず、60を素因数分解する。

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

したがって、

$\sqrt{60a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 5 \times a}$

$\sqrt{60a}$ が自然数になるためには、$2^2 \times 3 \times 5 \times a$ がある自然数の2乗にならなければならない。つまり、根号の中のそれぞれの素数の指数が偶数でなければならない。

$a$ は自然数なので、最も小さい $a$ を求めるためには、$a$ は3と5をそれぞれ1つずつ含む必要がある。

したがって、$a = 3 \times 5 = 15$ となる。

$a = 15$ のとき、$\sqrt{60a} = \sqrt{60 \times 15} = \sqrt{900} = 30$ となり、確かに自然数になる。

3. 最終的な答え

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