与えられた4つの複素数や実数を含む式の値を計算する問題です。 (1) $\sqrt{20} - 2| + |\sqrt{5} - 3|$ (2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$ (3) $|\frac{\sqrt{5} - 2}{-3 + \sqrt{5}}|$ (4) $|-2 + \sqrt{3}i| - |-\sqrt{6} - i|$

1. 問題の内容

与えられた4つの複素数や実数を含む式の値を計算する問題です。

(1) $\sqrt{20} - 2| + |\sqrt{5} - 3|$

(2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$

(3) $|\frac{\sqrt{5} - 2}{-3 + \sqrt{5}}|$

(4) $|-2 + \sqrt{3}i| - |-\sqrt{6} - i|$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{20}$ は $2\sqrt{5}$ と変形できます。$2\sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472 > 2$ なので、$|\sqrt{20} - 2| = \sqrt{20} - 2 = 2\sqrt{5} - 2$ です。また、$\sqrt{5} \approx 2.236 < 3$ なので、$|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$ です。

したがって、$\sqrt{20} - 2| + |\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1$

(2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi - 3)^2} + \sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 3| + |\pi - 4|$ となります。

$\pi \approx 3.14$ なので、$\pi - 3 > 0$ より $|\pi - 3| = \pi - 3$ であり、$\pi - 4 < 0$ より $|\pi - 4| = 4 - \pi$ です。

したがって、$|\pi - 3| + |\pi - 4| = \pi - 3 + 4 - \pi = 1$

(3) $|\frac{\sqrt{5} - 2}{-3 + \sqrt{5}}| = \frac{|\sqrt{5} - 2|}{|-3 + \sqrt{5}|} = \frac{|\sqrt{5} - 2|}{|\sqrt{5} - 3|}$ となります。

$\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$ より $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$ であり、$\sqrt{5} < 3$ より $|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$ です。

したがって、$\frac{|\sqrt{5} - 2|}{|\sqrt{5} - 3|} = \frac{\sqrt{5} - 2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} - 2)(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5} + 5 - 6 - 2\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(4) $|-2 + \sqrt{3}i| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$

$|-\sqrt{6} - i| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}$

したがって、$|-2 + \sqrt{3}i| - |-\sqrt{6} - i| = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + 1$

(2) $1$

(3) $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(4) $0$