(1) 1から5までの5個の数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部でいくつできるか。 (2) 1から7までの7個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部でいくつできるか。 (3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は全部で何通りあるか。

わかりました。画像にある問題のうち、最初の3問を解きます。

1. 問題の内容

(1) 1から5までの5個の数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部でいくつできるか。

(2) 1から7までの7個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部でいくつできるか。

(3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数が偶数になるためには、一の位が偶数でなければならない。使用できる数字は1, 2, 3, 4, 5なので、一の位は2または4である。

- 一の位が2の場合、残りの4桁は1, 3, 4, 5の並び替えになるので、4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24通り。

- 一の位が4の場合、残りの4桁は1, 2, 3, 5の並び替えになるので、4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24通り。

したがって、合計で24 + 24 = 48通り。

(2) 3桁の整数が200から500の間になるためには、百の位が2, 3, 4のいずれかでなければならない。

- 百の位が2の場合、残りの十の位と一の位は1, 3, 4, 5, 6, 7の6個の数字から2個を選ぶ順列となるので、6P2 = 6 * 5 = 30通り。

- 百の位が3の場合、残りの十の位と一の位は1, 2, 4, 5, 6, 7の6個の数字から2個を選ぶ順列となるので、6P2 = 6 * 5 = 30通り。

- 百の位が4の場合、残りの十の位と一の位は1, 2, 3, 5, 6, 7の6個の数字から2個を選ぶ順列となるので、6P2 = 6 * 5 = 30通り。

したがって、合計で30 + 30 + 30 = 90通り。

(3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける。

- まず、7人から4人を選ぶ組み合わせは $\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

- 次に、残りの3人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

- 最後に、残りの1人は自動的に1人の組になるので、1通り。

したがって、合計で35 * 3 * 1 = 105通り。

3. 最終的な答え

(1) 48

(2) 90

(3) 105