$\sqrt{630a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{630a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{630a}$ が自然数になるためには、$630a$ がある自然数の2乗になる必要があります。

まず、630を素因数分解します。

$630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$

したがって、$630a = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times a$ です。

$630a$ がある自然数の2乗になるためには、$630a$ の素因数分解において、全ての素数の指数が偶数になる必要があります。

上記の素因数分解において、3の指数は2で偶数ですが、2, 5, 7の指数は1で奇数です。

したがって、$a$ は $2 \times 5 \times 7$ を因数に含む必要があります。

$a$ が最小の自然数になるためには、$a = 2 \times 5 \times 7$ となります。

$a = 2 \times 5 \times 7 = 70$

3. 最終的な答え

70