実数 $a, x, y$ と自然数 $n$ に対して、以下の命題が真であるために、空欄に当てはまるものを選択する問題です。選択肢は以下の通りです。 1. 必要十分条件

1. 問題の内容

実数 $a, x, y$ と自然数 $n$ に対して、以下の命題が真であるために、空欄に当てはまるものを選択する問題です。選択肢は以下の通りです。

1. 必要十分条件

2. 必要条件であるが十分条件ではない

3. 十分条件であるが必要条件ではない

4. 必要条件でも十分条件でもない

(1) $x=y=2$ は、$2x-y=2y-x=2$ であるための？

(2) $a>1$ は、$a>0$ であるための？

(3) $x=-2$ は、$x^2=4$ であるための？

(4) $n$ が3の倍数であることは、$n=9$ であるための？

2. 解き方の手順

(1)

$x=y=2$のとき、$2x-y=2(2)-2=2$ かつ $2y-x=2(2)-2=2$なので、$2x-y=2y-x=2$ は成り立ちます。

逆に、$2x-y=2y-x=2$のとき、$2x-y=2$ かつ $2y-x=2$ です。この2式を連立すると、$2x-y=2y-x$ より $3x=3y$ なので $x=y$ です。$2x-y=2$に代入すると、$2x-x=2$ より $x=2$ となり、$y=2$ も得られます。したがって、$x=y=2$ と $2x-y=2y-x=2$ は同値なので、必要十分条件です。

(2)

$a>1$ ならば $a>0$ は明らかに成り立ちます。したがって、十分条件です。

一方、$a>0$ でも $a<1$ の場合があるので、$a>1$ とは限りません。したがって、必要条件ではありません。

よって、十分条件であるが必要条件ではありません。

(3)

$x=-2$ ならば $x^2=(-2)^2=4$ なので、$x^2=4$ は成り立ちます。したがって、十分条件です。

一方、$x^2=4$ ならば $x=\pm 2$ なので、$x=-2$ とは限りません。したがって、必要条件ではありません。

よって、十分条件であるが必要条件ではありません。

(4)

$n$ が3の倍数であるとは、$n=3k$ （$k$ は整数）と表せることです。$n=9$ ならば $n=3 \times 3$ なので $n$ は3の倍数です。したがって、$n=9$ は、$n$ が3の倍数であるための十分条件です。

$n$ が3の倍数であっても、$n=3$ や $n=6$ の場合があるので、$n=9$ とは限りません。したがって、$n$ が3の倍数であることは、$n=9$ であるための必要条件ではありません。

よって、十分条件であるが必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件

(2) 十分条件であるが必要条件ではない

(3) 十分条件であるが必要条件ではない

(4) 十分条件であるが必要条件ではない