Aの容器には8%の食塩水が200g、Bの容器には12%の食塩水が300g入っている。A, Bからそれぞれ同時に$x$gだけ取り出して入れ替えた結果、AとBの食塩水の濃度が等しくなった。$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

Aの容器には8%の食塩水が200g、Bの容器には12%の食塩水が300g入っている。A, Bからそれぞれ同時に$x$gだけ取り出して入れ替えた結果、AとBの食塩水の濃度が等しくなった。$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、AとBの食塩水に含まれる塩の量をそれぞれ計算する。

Aの食塩水に含まれる塩の量は、

$200 \times 0.08 = 16$g

Bの食塩水に含まれる塩の量は、

$300 \times 0.12 = 36$g

Aから$x$g取り出すと、Aに残る食塩水の量は$200-x$g。この中に含まれる塩の量は、

$\frac{200-x}{200} \times 16$g

AにBから$x$gの食塩水が入るので、Aに入る塩の量は、

$0.12x$g

よって、Aの塩の合計は

$\frac{200-x}{200} \times 16 + 0.12x$

Aの食塩水の合計は$200-x+x = 200$g

Bから$x$g取り出すと、Bに残る食塩水の量は$300-x$g。この中に含まれる塩の量は、

$\frac{300-x}{300} \times 36$g

BにAから$x$gの食塩水が入るので、Bに入る塩の量は、

$0.08x$g

よって、Bの塩の合計は

$\frac{300-x}{300} \times 36 + 0.08x$

Bの食塩水の合計は$300-x+x = 300$g

AとBの濃度が等しいので、

$\frac{\frac{200-x}{200} \times 16 + 0.12x}{200} = \frac{\frac{300-x}{300} \times 36 + 0.08x}{300}$

$\frac{16(200-x)}{200 \times 200} + \frac{0.12x}{200} = \frac{36(300-x)}{300 \times 300} + \frac{0.08x}{300}$

両辺に$200\times300 = 60000$をかけると、

$300 \times 16(200-x) + 300 \times 200 \times 0.12x = 200 \times 36(300-x) + 200 \times 300 \times 0.08x$

$4800(200-x) + 7200x = 7200(300-x) + 4800x$

$960000-4800x+7200x = 2160000-7200x+4800x$

$960000+2400x = 2160000-2400x$

$4800x = 1200000$

$x = \frac{1200000}{4800} = \frac{12000}{48} = \frac{6000}{24} = \frac{3000}{12} = \frac{1500}{6} = 250$

途中の計算を簡単にするために、

濃度の式を立てずに、AとBの塩の量の合計が一定になることを利用する。

AとBを混ぜたとき、塩の量の合計は$16+36=52$g、全体の量は$200+300=500$g。

したがって、最終的な濃度は、$\frac{52}{500} = \frac{13}{125} = 0.104 = 10.4$%

Aに$x$gのBの食塩水が混ざった後の塩の量は、

$16-\frac{x}{200}16+0.12x$

この時の濃度は10.4%なので、

$\frac{16-\frac{16}{200}x + 0.12x}{200} = 0.104$

$16 - 0.08x + 0.12x = 200 \times 0.104 = 20.8$

$0.04x = 4.8$

$x = \frac{4.8}{0.04} = \frac{480}{4} = 120$

3. 最終的な答え

120g