ある財に対する市場逆需要関数が $p = 40 - X$ であり、2社の企業がクールノー競争を行う。各企業の費用関数は $C(x) = x^2$ である。このとき、クールノー均衡価格を求める。ただし、$X$ は市場全体の供給量、$x$ は各企業の供給量である。

1. 問題の内容

ある財に対する市場逆需要関数が $p = 40 - X$ であり、2社の企業がクールノー競争を行う。各企業の費用関数は $C(x) = x^2$ である。このとき、クールノー均衡価格を求める。ただし、$X$ は市場全体の供給量、$x$ は各企業の供給量である。

2. 解き方の手順

まず、各企業の利潤関数を定義する。企業1の生産量を $x_1$、企業2の生産量を $x_2$ とすると、市場全体の供給量は $X = x_1 + x_2$ となる。価格は $p = 40 - (x_1 + x_2)$ である。

企業1の利潤 $\pi_1$ は以下の式で表される。

$\pi_1 = p x_1 - C(x_1) = (40 - x_1 - x_2)x_1 - x_1^2$

$\pi_1 = 40x_1 - x_1^2 - x_1 x_2 - x_1^2 = 40x_1 - 2x_1^2 - x_1 x_2$

同様に、企業2の利潤 $\pi_2$ は以下の式で表される。

$\pi_2 = p x_2 - C(x_2) = (40 - x_1 - x_2)x_2 - x_2^2$

$\pi_2 = 40x_2 - x_1 x_2 - 2x_2^2$

各企業の利潤を最大化するために、それぞれの生産量に関して偏微分し、0とおく。

$\frac{\partial \pi_1}{\partial x_1} = 40 - 4x_1 - x_2 = 0$

$\frac{\partial \pi_2}{\partial x_2} = 40 - x_1 - 4x_2 = 0$

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$4x_1 + x_2 = 40$

$x_1 + 4x_2 = 40$

1つ目の式を4倍すると $16x_1 + 4x_2 = 160$ となる。これから2つ目の式を引くと $15x_1 = 120$ となり、$x_1 = 8$ が得られる。

$x_1 = 8$ を2つ目の式に代入すると、$8 + 4x_2 = 40$ より、$4x_2 = 32$ となり、$x_2 = 8$ が得られる。

したがって、クールノー均衡における各企業の生産量は $x_1 = 8$、 $x_2 = 8$ である。

市場全体の供給量は $X = x_1 + x_2 = 8 + 8 = 16$ である。

クールノー均衡価格は $p = 40 - X = 40 - 16 = 24$ である。

3. 最終的な答え

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