質量 $m$ の物体が $xy$ 平面上を運動している。 A. 位置ベクトル $P$ の $x,y$ 成分を、原点からの距離 $r$ および $x$ 軸とのなす角 $\theta$ を用いた極座標で表す。 B. 速度ベクトルの $x,y$ 成分を、$r$, $\theta$ およびそれらの時間微分を用いて表す。 C. 角運動量ベクトルの $z$ 成分を、$m$, $r$, $\theta$ およびそれらの時間微分を用いて表す。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が $xy$ 平面上を運動している。

A. 位置ベクトル $P$ の $x,y$ 成分を、原点からの距離 $r$ および $x$ 軸とのなす角 $\theta$ を用いた極座標で表す。

B. 速度ベクトルの $x,y$ 成分を、$r$, $\theta$ およびそれらの時間微分を用いて表す。

C. 角運動量ベクトルの $z$ 成分を、$m$, $r$, $\theta$ およびそれらの時間微分を用いて表す。

2. 解き方の手順

A. 位置ベクトルの成分表示

極座標における位置ベクトルの $x,y$ 成分は以下のように表される。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

B. 速度ベクトルの成分表示

速度ベクトルは位置ベクトルの時間微分である。

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(r \cos \theta) = \frac{dr}{dt} \cos \theta - r \sin \theta \frac{d\theta}{dt}$

$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(r \sin \theta) = \frac{dr}{dt} \sin \theta + r \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$

C. 角運動量ベクトルの $z$ 成分

角運動量ベクトル $\vec{L}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ と運動量ベクトル $\vec{p}$ の外積で定義される。

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$

$L_z = x p_y - y p_x = m(xv_y - yv_x)$

$xv_y - yv_x = r\cos\theta(\frac{dr}{dt}\sin\theta + r\cos\theta\frac{d\theta}{dt}) - r\sin\theta(\frac{dr}{dt}\cos\theta - r\sin\theta\frac{d\theta}{dt}) = r\frac{dr}{dt}\cos\theta\sin\theta + r^2\cos^2\theta\frac{d\theta}{dt} - r\frac{dr}{dt}\sin\theta\cos\theta + r^2\sin^2\theta\frac{d\theta}{dt} = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)\frac{d\theta}{dt} = r^2\frac{d\theta}{dt}$

したがって、

$L_z = mr^2\frac{d\theta}{dt}$

3. 最終的な答え

A.

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

B.

$v_x = \frac{dr}{dt} \cos \theta - r \frac{d\theta}{dt} \sin \theta$

$v_y = \frac{dr}{dt} \sin \theta + r \frac{d\theta}{dt} \cos \theta$

C.

$L_z = mr^2\frac{d\theta}{dt}$