質点に作用する力 $\vec{f} = (axy, bxy)$ が与えられている。経路 $C_1$: $(1,1)$ から $(3,1)$ (直線 $y=1$ 上)、および経路 $C_2$: $(3,1)$ から $(3,2)$ (直線 $x=3$ 上) における力 $\vec{f}$ の仕事をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

質点に作用する力 $\vec{f} = (axy, bxy)$ が与えられている。経路 $C_1$: $(1,1)$ から $(3,1)$ (直線 $y=1$ 上)、および経路 $C_2$: $(3,1)$ から $(3,2)$ (直線 $x=3$ 上) における力 $\vec{f}$ の仕事をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

仕事は、力と変位の内積の積分で求められます。

$W = \int_C \vec{f} \cdot d\vec{r}$

ここで、$\vec{r} = (x, y)$ であり、$d\vec{r} = (dx, dy)$ です。

経路 $C_1$: $(1,1)$ から $(3,1)$ に沿って $y=1$ なので、$dy = 0$。

$\vec{f} = (ax, bx)$

$d\vec{r} = (dx, 0)$

$W_1 = \int_{C_1} \vec{f} \cdot d\vec{r} = \int_{1}^{3} (ax, bx) \cdot (dx, 0) = \int_{1}^{3} ax dx$

$W_1 = a \int_{1}^{3} x dx = a \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{1}^{3} = a \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) = a \frac{8}{2} = 4a$

経路 $C_2$: $(3,1)$ から $(3,2)$ に沿って $x=3$ なので、$dx = 0$。

$\vec{f} = (3ay, 3by)$

$d\vec{r} = (0, dy)$

$W_2 = \int_{C_2} \vec{f} \cdot d\vec{r} = \int_{1}^{2} (3ay, 3by) \cdot (0, dy) = \int_{1}^{2} 3by dy$

$W_2 = 3b \int_{1}^{2} y dy = 3b \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{1}^{2} = 3b \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 3b \frac{3}{2} = \frac{9}{2}b$

3. 最終的な答え

経路 $C_1$ での仕事: $4a$

経路 $C_2$ での仕事: $\frac{9}{2}b$