長さ $l$ の糸におもりをつけた単振り子について、以下の問いに答える問題です。 (1) $\vec{e}_r$ と $\vec{e}_\theta$ をそれぞれ $\vec{i}$ と $\vec{j}$ を用いて表す。 (2) 速度 $\vec{v}$ を $l$, $\dot{\theta}$, $\vec{e}_\theta$ を用いて表す。 (3) 速度 $\vec{v}$ を $\dot{r}$, $l$, $\dot{\theta}$, $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\theta$ を用いて表す。 (4) 角運動量 $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を $m$, $l$, $\dot{\theta}$, $\vec{k}$ を用いて表す。 (5) (ア), (イ) に入る適切な値を答える。 (6) おもりにはたらく重力のモーメント $\vec{N}$ を $l$, $\theta$, $m$, $g$ を用いて表す。 (7) $\frac{d\vec{L}}{dt}$ を $l$, $\theta$, $m$, $g$ を用いて表す。

1. 問題の内容

長さ $l$ の糸におもりをつけた単振り子について、以下の問いに答える問題です。

(1) $\vec{e}_r$ と $\vec{e}_\theta$ をそれぞれ $\vec{i}$ と $\vec{j}$ を用いて表す。

(2) 速度 $\vec{v}$ を $l$, $\dot{\theta}$, $\vec{e}_\theta$ を用いて表す。

(3) 速度 $\vec{v}$ を $\dot{r}$, $l$, $\dot{\theta}$, $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\theta$ を用いて表す。

(4) 角運動量 $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を $m$, $l$, $\dot{\theta}$, $\vec{k}$ を用いて表す。

(5) (ア), (イ) に入る適切な値を答える。

(6) おもりにはたらく重力のモーメント $\vec{N}$ を $l$, $\theta$, $m$, $g$ を用いて表す。

(7) $\frac{d\vec{L}}{dt}$ を $l$, $\theta$, $m$, $g$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{e}_r$ と $\vec{e}_\theta$ は、それぞれ動径方向と角度方向の単位ベクトルです。図から、

$\vec{e}_r = \cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}$

$\vec{e}_\theta = -\sin\theta \vec{i} + \cos\theta \vec{j}$

(2) 速度 $\vec{v}$ は、おもりの位置ベクトル $\vec{r}$ を時間微分することで得られます。

$\vec{r} = l\vec{e}_r$ であり、 $\vec{e}_r$ は時間変化するので、

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = l \frac{d\vec{e}_r}{dt}$

$\frac{d\vec{e}_r}{dt} = \frac{d\theta}{dt} \frac{d\vec{e}_r}{d\theta} = \dot{\theta} \frac{d}{d\theta} (\cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}) = \dot{\theta} (-\sin\theta \vec{i} + \cos\theta \vec{j}) = \dot{\theta} \vec{e}_\theta$

したがって、

$\vec{v} = l\dot{\theta}\vec{e}_\theta$

(3) $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta$

$r = l$ なので $\dot{r} = 0$

$\vec{v} = l\dot{\theta}\vec{e}_\theta$

(4) 角運動量 $\vec{L}$ は、

$\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v} = m(l\vec{e}_r) \times (l\dot{\theta}\vec{e}_\theta) = ml^2 \dot{\theta} (\vec{e}_r \times \vec{e}_\theta)$

$\vec{e}_r \times \vec{e}_\theta = (\cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}) \times (-\sin\theta \vec{i} + \cos\theta \vec{j}) = \cos^2\theta (\vec{i} \times \vec{j}) - \sin^2\theta (\vec{j} \times \vec{i}) = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)\vec{k} = \vec{k}$

したがって、

$\vec{L} = ml^2\dot{\theta}\vec{k}$

(5) $\vec{A} \times \vec{B}$ は $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角が $90^\circ$ の時に最大となる。したがって、 (ア) は $\frac{\pi}{2}$。

糸の張力は動径方向なので、合力のモーメントでは重力だけ考えれば良い。したがって、(イ) は 0。

(6) 重力のモーメント $\vec{N}$ は、

$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F} = (l\vec{e}_r) \times (-mg\vec{j})$

$\vec{e}_r \times \vec{j} = (\cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}) \times \vec{j} = \cos\theta (\vec{i} \times \vec{j}) = \cos\theta \vec{k}$

$\vec{N} = -mgl\cos\theta \vec{k}$

(7) $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ より、

$\frac{d}{dt}(ml^2\dot{\theta}\vec{k}) = -mgl\cos\theta \vec{k}$

$ml^2\ddot{\theta} = -mgl\sin \theta$

$\ddot{\theta} = -\frac{g}{l} \sin\theta$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{e}_r = \cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}$, $\vec{e}_\theta = -\sin\theta \vec{i} + \cos\theta \vec{j}$

(2) $\vec{v} = l\dot{\theta}\vec{e}_\theta$

(3) $\vec{v} = l\dot{\theta}\vec{e}_\theta$

(4) $\vec{L} = ml^2\dot{\theta}\vec{k}$

(5) (ア) $\frac{\pi}{2}$, (イ) $0$

(6) $\vec{N} = -mgl\cos\theta \vec{k}$

(7) $\ddot{\theta} = -\frac{g}{l} \sin\theta$